모든 실수에서 정의된 이차함수 y=−a(x−h)²+4, a>0이 x=4에서0이다. 한자리 숫자 사용 제한은 없다. 다른 근을 임의의 실수 r로 정하려면 a와h를 어떻게 선택해야 할까? r=4도 가능한가?
두 근의 중점이 대칭축이므로 h=(r+4)/2다. x=4에서0을 대입하면 a(4−h)²=4다. 4−h=(4−r)/2이므로 r≠4일 때 a=16/(r−4)²다. 이 값은 항상 양수이며 실제로 x=4와r에서 함수값0, 꼭짓점 높이4를 만든다.
r=4이면 두 근이 모두 꼭짓점4에 모여야 한다. 그런데 그 꼭짓점의 함수값은4라0이 될 수 없다. 대입식에서도 a·0=4라는 모순이 생긴다. 따라서 다른 근은4를 제외한 모든 실수로 정할 수 있다.
교사 질문은 ‘원문에 답이 두 개였던 이유가 근과 최대값만 때문이었는가’다. Open Middle의 숫자 제한을 지우면 무한히 많은 함수가 남는다. 몇 개의 답이라는 결론을 옮길 때는 제한 조건까지 함께 가져와야 한다.
착안한 공개 원문: Quadratic In Vertex Form With Given Root And Maximum Value. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.