양끝 값의 평균으로 같은 넓이의 직사각형 높이를 정해도 될까

f(x)=x^2\quad(0\le x\le2),\qquad \frac{f(0)+f(2)}2=2

곡선 아래의 넓이와 같은 넓이를 가진, 밑변의 길이가2인 직사각형을 만들자. 그 높이를 양끝 함수값의 평균2로 정해도 될까?

곡선 아래의 넓이는

\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}3\right]_0^2=\frac83

이다. 높이가2이면 직사각형 넓이는 $2\times2=4$ 여서 같지 않다. 높이를 $h$ 라고 두면 $2h=8/3$ 이므로 $\boxed{h=4/3}$ 이다. 함수값을 평균한 두 숫자와, 구간 전체의 넓이를 맞추는 높이는 같은 계산이 아니다.

왜 직선에서는 양끝 값만으로도 맞는 경우가 있을까? $y=x$ 를 같은 구간에서 보면 넓이가2이고 밑변2의 직사각형 높이는1이다. 이때는 양끝0과2의 평균도1이다. 직선에서 맞은 방법을 함수 y=x²의 그래프에 그대로 적용한 부분을 확인할 수 있다.

높이2의 직사각형을 겹쳐 본 뒤 넓이를 계산하게 한다. ‘2로 나눈다’는 설명이 나오면 두 값을 더해 나누는2인지, 구간의 길이2로 넓이를 나누는지 구별해 받아 적는다. 마지막에 직사각형의 높이 $4/3$ 이 실제로 $x^2$ 의 값이 되는 $x$ 를 찾게 하면, $0\le x\le2$ 에서 $x=2/\sqrt3$ 이라는 확인도 덧붙일 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.