F₁=(−4,0),F₂=(4,0)이고 조건은 PF₁−PF₂=6이다. 두 거리의 차의 절댓값이6이라는 조건과 비교하라.
위 식 전체를 정답으로 제출해도 되는가?
절댓값 차6의 쌍곡선은 a=3,c=4,b²=7로 위 방정식이 맞다. 하지만 문제의 차는 순서를 갖는다. PF₁>PF₂이므로 F₂쪽에 가까운 점이어야 한다.
두 거리의 제곱 차는
거리 합은 양수라 두 거리의 차와 이 제곱 차의 부호가 같다. 따라서 x>0이다. 쌍곡선 식에서 |x|≥3이므로 실제 답은 위 식의 x≥3인 갈래다.
제곱 뒤 사라진 순서
(3,0)에서는 거리가7과1이라 차6이다. (−3,0)에서는1과7이라 차−6이다. 두 점 모두 쌍곡선 방정식을 만족하지만 뒤 점은 원래의 조건을 만족하지 않는다.
절댓값을 주었다면 두 점과 두 갈래가 모두 남는다. 거리 차의 크기를 물었는지, 어느 초점까지 거리에서 어느 거리를 뺐는지 문제 문장을 그대로 식에 남겨야 한다.
교사는 표준 방정식을 맞게 구한 줄과 x≥3조건을 별도 채점한다. 제곱한 결과가 원래 조건의 모든 경우인지 확인하려면 축 위 점을 하나씩 대입하는 방법도 충분하다. 거리 합이0일 가능성은 두 초점이 서로 달라 없으므로 부호 비교에서 나눗셈의 전제도 지켜진다.
원래의 조건에 거리의 차의 크기만 남겨 쓰면 순서 정보가 사라진다. 두 초점 이름을 거리식에 붙여 쓰는 것이 이 오류를 확인하는 간단한 방법이다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.