실수 계수 다항식P를 모두 구한다. x와1/x를 바꾸어도 같은 유리식x+1/x를 보고 상수가 아닌 다항식도 가능하다고 말할 수 있을까?
P가 차수n≥1이고 최고차항 계수가a≠0이라고 가정한다. 양변에x^n을 곱한다. 왼쪽x^nP(1/x)는 모든 거듭제곱이0 이상이 되어 차수n 이하의 다항식이다.
오른쪽x^nP(x)는 차수2n이고 최고차항 계수a가0이 아니다. 두 다항식이0 이외의 모든 실수에서 같으면 같은 다항식이어야 하지만 차수가 달라 모순이다.
따라서 P는 상수뿐이며 모든 상수는 조건을 만족한다. x+1/x는0에서 정의되지 않고 음의 거듭제곱이 포함되어 다항식이 아니다.
함수의 역수 입력 대칭이 가능하다는 사실과 다항식 안에서 가능하다는 사실은 다르다. 분모를 없앤 두 식의 차수를 비교하고, 그 식이 어느 입력에서 같은지를 남겨 항등식으로 연결한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.