A²=B²=E일 때 AB도 제곱하면 E가 되는가

A,B는 실수 성분의 2×2 행렬이다. 첫 조건만으로 마지막 식이 항상 성립하는지 검토하고, 성립할 정확한 조건을 제시한다.

AB=BA이면 ABAB=AABB=A²B²=E이다. 반대 방향도 성립한다. ABAB=E의 왼쪽에 A, 오른쪽에 B를 곱하면 A²BAB²=AEB이므로 BA=AB이다.

따라서 첫 조건만으로는 충분하지 않다. A=[[1,0],[0,−1]], B=[[1,1],[0,−1]]은 각각 제곱이 E지만 AB=[[1,1],[0,1]]이고 (AB)²=[[1,2],[0,1]]≠E이다.

“각각 두 번 하면 되돌아오므로 이어서 해도 두 번이면 되돌아온다”는 설명은 처리 순서를 빠뜨린다. 실제 두 번의 곱은 ABAB이고 AABB가 아니다. 학생에게 네 글자의 순서를 먼저 쓰게 한 뒤, 가운데 BA를 AB로 바꿀 근거가 있는지 질문한다. 이 문항에서는 순서를 바꿀 수 있다는 조건이 단순히 편리한 조건이 아니라 결론과 동치이다.

출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.