같은 쪽의 실수가 아닌 근 두 개는 실수 계수 이차식에 들어갈 수 없다

P(1+i)=0,\qquad P(2+i)=0.

P는 항상0이 아닌 다항식이고 모든 계수는 실수다. 가능한 가장 작은 차수를 구하고 그 차수의 예를 만들라. 서로 다른 근 두 개이므로 이차식이면 된다는 답을 검토한다.

실수 계수 식의 대입값에 켤레를 취하면 P(1−i)=P(2−i)=0도 얻는다. 네 복소수1+i,1−i,2+i,2−i는 모두 다르다. 인수정리를 차례로 적용하면 네 일차식이 인수로 남으므로 차수는 적어도4다.

P(x)=\{(x-1)^2+1\}\{(x-2)^2+1\}

은 실수 계수 4차 다항식이며 요구한 두 근을 갖는다. 따라서 최소 차수는4다. 단순히 조건 두 개의 수를 세는 대신, 계수의 범위 때문에 강제되는 근도 포함해야 한다.

실수 계수라는 전제를 지우면 (x−1−i)(x−2−i)는 이차식으로 가능하다. 항상0인 다항식을 제외한 조건도 중요하다. 그것을 허용하면 모든 대입값이0이 되어 차수를 비교하는 근의 개수 논리가 적용되지 않는다. 근 목록과 계수 범위를 함께 확인하는 문제다.