같은 점 (0,1)을 지나는 직선으로 제곱근 값을 아래와 위에서 둘러싸려 한다. 기울기를 하나 계산하는 대신 구간 전체에서 유효한 기울기의 범위를 묻자.
x=0에서는 두 값이 항상 같다. x>0에서 비교식을 x로 나눈 뒤 분자를 유리화하면, 필요한 기울기의 기준은 1/(√(1+x)+1)이 된다. 이 값은 x가 커질수록 작아지며, x=1에서 √2−1을 얻는다. 따라서 아래 경계가 되려면 m≤√2−1이어야 한다.
위 경계는 끝점 x=1만 보면 부족하다. 같은 비가 x→0+에서 1/2로 가까워지므로 m<1/2이면 충분히 작은 양수 x에서 직선이 곡선 아래로 내려간다. 반대로 m≥1/2이면 모든 입력에서 위에 있다.
두 조건에서 가장 가까운 기울기를 고르면 1+(√2−1)x≤√(1+x)≤1+x/2다. 아래 직선은 양끝을 잇고 위 직선은 0에서의 접선이다. 교사는 ‘x=1을 확인했으니 위쪽도 된다’는 답에 0 근처의 입력을 추가하게 한다. 한 점의 근사와 구간 전체의 경계를 구별하는 질문이다.
출처·착안: Concavity. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.