그래프의 모든 표시 눈금에서 양수값을 읽었다. 눈금 사이도 양수라고 말하려면 어떤 정보가 더 필요할까? f는 [0,1]에서 연속이고 안쪽에서 미분가능하다고 하자.
임의의 입력 x에 가장 가까운 눈금 q를 고른다. 눈금 간격은 1/5이므로 끝점까지 포함해 |x−q|≤1/10이다. 평균값 정리를 x와 q 사이에 적용하면, 함수값 차의 절댓값은 기울기 상한 2와 입력 거리의 곱 이하이다.
따라서 이 조건에서는 눈금 사이에서도 양수임을 보장한다. 그림에 보이는 여섯 점을 확인한 것에 그치지 않고, 모든 중간 입력을 가까운 점으로 연결해 하한을 얻은 것이다. 기울기 조건을 빼면 중간에서 빠르게 내려갔다 올라오는 함수가 가능해서 같은 결론을 줄 수 없다.
일반 간격 h와 도함수 상한 M이라면 같은 방법의 감소 허용폭은 Mh/2다. 표본의 가장 낮은 값이 이 폭보다 커야 이 방식으로 엄격한 양수를 보장한다. 교사는 계산기 창을 더 촘촘히 하는 선택과 함수의 변화율을 확인하는 선택이 어떻게 함께 작용하는지 묻는다. 원문의 영점 찾기 수업에, 화면 밖의 추측을 보증 가능한 조건으로 바꾸는 질문을 더했다.
출처·착안: Finding Zeros of Quadratics Worksheet. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.