가상의 답안에서 학생이 log₂(x+y)=log₂x+log₂y를 모든 양수에서 쓰려고 한다. 교사가 x=y=2를 넣어 틀린 이유를 찾게 했는데 두 값이 모두 2다. 이 문항은 오개념을 드러내는 반례가 되지 않는다.
로그가 일대일이고 합의 성질은 log₂x+log₂y=log₂(xy)이므로, 잘못된 일반식이 우연히 맞는 입력은 x+y=xy를 만족한다. 이를 한쪽 변수로 풀어 보자.
x=1은 불가능하고 0<x<1이면 y가 음수라 제외된다. 따라서 위 조건이 모든 양수 일치 쌍을 설명한다. (2,2)뿐 아니라 (3,3/2)도 그 위에 있으므로 서로 다른 진수를 골랐다는 이유만으로 진단 문항이 좋아지는 것은 아니다.
교사는 두 예시를 대비해 제시할 수 있다. (2,2)에서는 왜 같아졌는지 설명하게 하고, (3,3)에서는 log₂6과 log₂9가 다르다는 반례를 찾게 한다. 이어 ‘특정 입력의 참’과 ‘모든 입력의 참’을 학생 말로 구분하게 한다.
이런 문항 순서는 정답 숫자가 같은 경우에도 사용한 규칙을 확인하려는 수업 제안이다. 한 번의 반례를 찾았다고 장기 이해가 확보됐다는 효과 주장은 하지 않는다. 원문의 의도적 개념 오류 찾기를, 오류 규칙이 숨는 입력을 먼저 검토하는 교사 질문으로 확장했다.
출처·착안: Deliberate Mistakes. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.