미분할 수 없는 꼭짓점도 두 점 사이의 선분 아래에 있을 수 있다

‘0에서 미분할 수 없으니 볼록한 모양도 말할 수 없다’는 답을 다음 함수로 검토한다. 이번에는 모양이라는 말을 두 점을 잇는 선분과 그래프의 위치로 명확히 정하자.

0의 왼쪽 미분계수는 −1, 오른쪽은 1이다. 따라서 0에서 미분가능하지 않다. 그러나 두 실수 u,v 사이의 입력 (1−t)u+tv를 잡으면, 절댓값 부분은 삼각부등식에 의해 (1−t)|u|+t|v| 이하이다.

제곱 부분의 차이는 전개하면 다음처럼 된다.

두 부등식을 더하면 f((1−t)u+tv)≤(1−t)f(u)+tf(v)다. 오른쪽은 두 그래프 점을 잇는 선분의 높이이므로, 그래프가 그 선분보다 위로 나가지 않는다는 결론을 모든 두 입력에서 얻는다. u≠v이고 0<t<1이면 제곱 부분의 차이가 양수여서 부등식도 엄격하다.

교재에서 쓰는 ‘아래로 볼록’이라는 방향과 이 비교를 연결하되, 미분을 이용한 판정에는 미분가능성이라는 가정이 필요함을 구분한다. 교사는 이계도함수가 없는 점을 발견한 학생에게 ‘이 판정법을 쓸 수 없다’와 ‘이 관계가 거짓이다’ 중 어느 결론을 얻었는지 설명하게 한다.

출처·착안: Concavity. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.