단위 칸으로 된 큰 정사각 배열에서 더 작은 정사각 배열을 뺐다. 남은 칸 수 N이 주어지면 언제 두 변의 길이를 양의 정수로 정할 수 있을까? 안쪽 배열도 실제로 있어야 하므로 b=0은 허용하지 않는다. 두 배열이 같은 중심에 놓인다는 조건은 없다.
두 인수 a−b와 a+b는 같은 홀짝이다. 둘 다 홀수이면 N도 홀수이고, 둘 다 짝수이면 N은 4의 배수다. 따라서 4로 나눈 나머지가 2인 수는 만들 수 없다. 하지만 ‘홀수 또는 4의 배수’만 답하면 아직 빠진 조건이 있다.
N=1에서는 두 양의 인수가 모두 1이어야 해 b=0이 된다. N=4에서도 같은 홀짝인 인수쌍은 2와 2뿐이어서 역시 b=0이다. 둘 다 속을 비운 배열이 아니다.
반대로 홀수 N≥3에는 a=(N+1)/2, b=(N−1)/2를 쓰면 된다. N=4k, k≥2에는 a=k+1, b=k−1을 쓰면 두 제곱의 차가 4k다. 이때 b도 양의 정수다.
교사는 가능한 배열 한 개를 찾는 답과 모든 N을 분류한 답을 구별한다. 인수분해 뒤 홀짝이 맞는지, 두 인수가 달라 안쪽 길이가 양수인지 함께 표시하게 하자. 원문의 특정 인원 수 배열을 다시 세는 대신, 존재를 보장하는 조건과 퇴화 예외를 묻는 새 질문이다.
출처·착안: hollow square. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.