분수식에 절댓값이 보이면 분모가 0이 되는 점부터 지우는 학생이 있다. 실제로 지울 입력이 있는지 다음 식에서 확인하자.
삼각부등식으로 분모는 |(x−1)−(x+1)|=2 이상이다. 따라서 분모가 0인 입력은 없고 정의역은 실수 전체다. 분자와 분모가 모두 연속이며 분모가 양수이므로 함수도 모든 실수에서 연속이다.
미분은 다른 질문이다. −1과 1을 경계로 절댓값을 풀면 식이 간단해진다.
−1에서는 왼쪽 기울기가 −1, 오른쪽 기울기가 1이다. 1에서도 왼쪽은 −1, 오른쪽은 1이다. 두 점은 연속이지만 미분가능하지 않다. 나머지 입력은 각 구간의 다항식 또는 분모가 0이 아닌 유리식으로 미분할 수 있다.
학생에게 정의역 제외점, 불연속점, 미분불가능점을 세 칸에 따로 적게 하면 답은 차례로 ‘없음, 없음, −1과 1’이다. 절댓값이 있는 식이라는 외형만으로 세 칸을 같은 목록으로 채우지 않는다. 원문의 절댓값 분수 구성 과제를, 분모 하한과 경계 기울기를 서로 다른 근거로 확인하는 질문으로 바꿨다.
출처·착안: Constructing a Nondifferentiable Function. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.