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꼭짓점 (0,0),(4,0),(4,4),(0,4)인 정사각형에서 열린 정사각형 1<x<3, 1<y<3을 제거한 테두리 영역을 생각한다. 안쪽 경계는 남겨 둔다. I는 남은 영역의 내부 격자점, B는 바깥·안쪽 경계의 서로 다른 격자점 수다. I+B/2−1로 넓이를 구해도 될까?
바깥 사각형의 경계 점은 열여섯 개, 안쪽 사각형의 경계 점은 여덟 개다. 두 경계는 만나지 않으므로 모두 스물네 개다. 가운데 (2,2)는 제거되었고 1과 3 좌표의 점들은 안쪽 경계 위이므로 영역의 내부 격자점은 없다.
점을 빠뜨린 것이 아닌데도 구멍 없는 공식은 넓이를 11로 계산한다. 구멍 수 h를 포함한 공식에서 h=1을 넣으면 직접 뺀 넓이와 일치한다.
안쪽 경계도 B에 넣었으니 이미 구멍이 처리되었다고 생각하기 쉽다. 그러나 경계 점의 개수를 반영하는 일과 영역에 구멍이 몇 개 있는지 반영하는 일은 서로 다른 항이다.
교사는 먼저 경계 위 점과 영역 내부의 점을 다른 색으로 표시하게 한다. 그 뒤 단순 다각형이라는 공식의 적용 조건을 확인한다. 같은 좌표 그림이라도 내부 사각형을 제거하지 않았다면 그 선은 새 경계가 아니다.
착안 원문: Connecting the Dots with Pick’s Theorem. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.