x²+c를 반복할 때 서로 다른 두 입력이 오갈 수 있는 c는 어디까지일까? 이번 질문은 ‘두 번 뒤에 돌아오는 모든 해’를 나열하는 대신, 다른 입력으로 갔다가 돌아오는 두 점이 생기는 경계를 찾는다.
두 식을 빼면 r²−s²=s−r이다. r−s가 0이 아니라는 조건을 지금 사용해 나누면 r+s=−1을 얻는다. 따라서 s=−1−r를 첫 식에 넣어 r²+r+c+1=0으로 줄일 수 있다.
서로 다른 두 입력이 필요하므로 이 이차방정식의 판별식은 양수여야 한다. 판별식은 −4c−3이어서 조건은 c<−3/4다. 이 조건이면 두 근의 합이 −1이고, 각 근 r에서 f_c(r)=−1−r가 다른 근이므로 실제로 서로 오간다.
경계 c=−3/4에서는 두 근이 −1/2로 합쳐진다. 그 입력에 한 번만 적용해도 −1/2이므로 더 이상 ‘서로 다른 두 입력’의 교환이 아니다. c>−3/4에서는 그런 실수 쌍이 없다.
교사는 r−s로 나눈 줄과 판별식 부등호를 나란히 확인한다. 판별식이 0이어도 된다는 답은 원래 r≠s 조건을 빠뜨린 것이다. 합성함수의 고정 해와 교환 해를 구별하는 데서 더 나아가, 교환이 생겼다가 한 점으로 합류하는 매개변수 조건을 묻는다.
출처·착안: New GCSE: Functions. 위 문항과 해설은 원문 관점에서 착안해 새로 작성했습니다.