정적분의 두 끝이 움직이면 두 변화율을 함께 읽는다

$H'(1)$을 구하자. 학생이 “위끝2를 넣으면 $2^2=4$”라고 썼다. 적분구간의 어떤 움직임이 빠졌을까?

먼저 직접 적분하면

이므로 $H'(x)=7x^2$, $\boxed{H'(1)=7}$이다. 정적분의 결과도 $x$의 함수라는 것을 유지하고 미분한다.

적분의 끝을 따로 읽어도 같은 답이다. 위끝 $2x$는 $x$보다 두 배 빠르게 변하고 아래끝 $x$도 함께 변한다. 따라서

다. 위끝의 값4만 쓰면 위끝 변화율2와 아래끝에서 빠지는 양1을 모두 놓친다. 위끝에 해당하는 기여8에서 아래끝 기여1을 빼야 한다.

적분 결과를 다항식으로 만드는 방법과 두 끝의 변화율을 쓰는 방법을 비교한다. 두 방법의7이 같은 이유까지 써 보자. 이 식은 $x<0$에서 위끝의 숫자가 아래끝보다 작지만 방향이 있는 정적분으로도 정의된다. 이번 질문은 $x=1$이므로 처음에는 양의 구간에서 계산하고, 음수 입력에서도 직접 적분식이 성립하는지 후속 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.