정삼각형을 못 그리는 격자에도 눈금 조건이 있다

가로 눈금 간격은 1, 세로 눈금 간격은 √3인 직사각 격자 G를 생각한다. 모든 교점이 (m,n√3), m,n∈Z다. 이 격자의 세 교점을 꼭짓점으로 한 정삼각형도 불가능할까?

세 점은 격자의 정의를 그대로 만족한다. PQ²=4,PR²=1+3=4,QR²=1+3=4다. 따라서 실제 거리는 모두 2다. 세로 좌표 √3를 격자 한 칸으로 세었다는 약속이 핵심이다.

단위 정사각 격자의 불가능성은 가로·세로 실제 길이 단위가 같은 경우의 결론이다. 현재 G는 세로 한 칸 길이를 바꾸었으므로 그 결론의 전제가 다르다.

격자 번호 좌표로는 세 점이 (0,0),(2,0),(1,1)이다. 삼각형의 내부 격자점은0개, 경계 격자점은4개라 픽 값은 0+4/2−1=1이다. 현재 한 칸의 실제 넓이 √3를 곱하면 실제 삼각형 넓이도 √3가 된다. 무리수 넓이는 모순이 아니다.

수업에서는 “격자점이면 정삼각형 불가능”이라는 문장을 먼저 보완하게 한다. 좌표가 정수라는 말이 어느 좌표 체계에 관한 것인지, 두 축의 한 단위가 같은 길이인지까지 써야 정확한 주장이다.

착안 원문: Connecting the Dots with Pick’s Theorem. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.