두 함수의 적분을 곱하면 두 함수의 곱의 적분이 될까

f(x)=1+x,\qquad g(x)=1-x\qquad(0\le x\le1)

다음 두 값은 같을까? 계산 전에 판단을 받아 보자.

\begin{aligned} A&=\int_0^1f(x)g(x)\,dx\\ B&=\left(\int_0^1f(x)\,dx\right)\left(\int_0^1g(x)\,dx\right) \end{aligned}

곱한 함수는 $1-x^2$ 이므로 $A=[x-x^3/3]_0^1=2/3$ 이다. 각 함수를 따로 적분하면 $3/2$ 와 $1/2$ 이고, 두 값을 곱한 $B$ 는 $3/4$ 다. 따라서 $\boxed{A\ne B}$ 이며 차이는 $B-A=1/12$ 이다.

두 함수가 같은 구간에서 연속이고, 음수가 아니라는 조건을 만족해도 두 계산은 같아지지 않는다. 합의 적분을 따로 적분한 합으로 바꾸는 성질을 곱으로 확장할 수는 없다.

검산은 상수함수와 비교할 수도 있다. $g(x)=1$ 로 바꾼 별도 문제에서는 구간 길이가1이어서 두 값이 같다. 그 한 사례는 곱셈 성질이 항상 성립한다는 근거가 되지 않는다. 처음 문항의 $1-x$ 를 다시 넣으면 반례가 남는다.

학생이 “적분은 따로 해도 된다”고 말하면 어떤 연산에 관한 성질인지 묻는다. 합의 성질을 곱까지 확장한 것인지, 실제 반례와 같은 값이 나오는 별도 사례를 비교해 확인한다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.