부분적분을 두 번 했더니 원래 적분이 다시 나타났다

I=\int_0^\pi e^x\sin x\,dx

부분적분을 반복한 뒤 오른쪽에 다시 $I$ 가 나왔다. 처음으로 돌아갔으니 풀이가 실패한 것일까?

$e^x$ 를 적분하고 sin을 미분하여 부분적분하면

I=[e^x\sin x]_0^\pi-\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=-J

다. 여기서 $J=\int_0^\pi e^x\cos x\,dx$ 로 둔다. 같은 선택을 유지해 한 번 더 부분적분하면

J=[e^x\cos x]_0^\pi+I=-e^\pi-1+I

이다. 이를 처음 등식에 넣으면 $I=e^\pi+1-I$ 다. 같은 값 $I$ 가 양쪽에 있으므로 이항해 $\boxed{I=(e^\pi+1)/2}$ 를 얻는다. $I=I$ 로 끝난 등식과, $2I=e^\pi+1$ 이라는 정보를 가진 등식은 다르다.

부정적분 $e^x(\sin x-\cos x)/2$ 를 미분하면 $e^x\sin x$ 이므로 따로 검산할 수도 있다.0과 $\pi$ 의 값을 빼면 같은 결과다. 두 번째 부분적분의 부호를 틀리면 이항할 수 없는 식이 나오므로 그 줄을 특히 확인한다.

$I,J$ 를 따로 이름 붙이고 두 등식만 연결해 보자. 같은 적분이 다시 나왔는지보다 새 등식이 어떤 정보를 주는지를 설명하게 한다. 채점할 때도 두 번째 부분적분의 부호와 이항 근거를 함께 본다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.