네 번 던지면 앞면 두 번, 평균을 확정 결과로 읽었을 때

공정한 동전을 서로 독립으로 네 번 던진 앞면 수를 $X$라 하자.

“앞면 확률이 절반이므로 네 번 던지면 반드시 앞면이 두 번 나온다.” 이 주장을 판단하고, 정확히 두 번 나올 확률을 구하라.

평균은 2지만, 정확히 2가 나올 확률은 1이 아니다. 앞면이 0,1,3,4번 나오는 경우를 합친 확률은 $5/8$이다. 네 번짜리 실험 한 번에서 절반이 나오지 않았다고 계산이 틀린 것은 아니다.

학생에게 네 던짐의 앞뒤 순서를 하나씩 쓰게 한다. 앞면이 두 번인 순서는 여섯 개이고 전체는 열여섯 개다. 평균 계산의 2와 순서를 세어서 얻은 $6/16$이 서로 다른 질문에 답한다는 점을 표에 남긴다.

교사는 짧은 실험 결과를 확인할 때 “앞면이 두 번이어야 성공”이라는 기준을 만들지 않는다. 각 모둠의 결과가 달라도 전체 시행 수와 앞면 수를 기록해 비교할 수 있다. 기대한 평균과 실제 관찰값을 같은 칸에 적지 않는 준비다.

후속 질문은 “앞면이 적어도 두 번일 확률”로 바꾼다. 이제 두 번뿐 아니라 세 번과 네 번도 포함되어 $(6+4+1)/16=11/16$이다. ‘정확히’와 ‘적어도’의 차이는 답의 수치보다 먼저 사건을 바꾼다.

실험을 반복한다고 매번 앞면 수가 균형을 맞춰 주는 것은 아니다. 앞면 네 번이라는 결과도 확률 $1/16$로 가능하다. 결과가 예상과 다를 때 조건을 다시 확인하는 흐름과, 결과를 억지로 맞추는 흐름을 구별한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.