공정한 동전을 독립으로 네 번 던진다. 첫 두 번은 앞면이었다.
첫 두 결과를 알고 있을 때 다음 확률을 구하라. A·B를 각각 해당 사건이라 하고, 첫 두 번이 앞면인 사건을 라 하자.
- A: 셋째가 뒷면인 사건
- B: 네 번 전체에서 앞면이 정확히 두 번인 사건
앞의 결과는 셋째 던짐의 앞뒤 확률을 바꾸지 않는다. 그러나 전체 앞면 수에 관한 조건을 만족하려면 남은 두 번이 모두 뒷면이어야 한다. 같은 정보가 있어도 묻는 사건이 달라 답은 다르다.
학생이 “앞면이 많이 나왔으니 다음은 뒷면”이라고 말하면 남은 두 자리의 가능한 순서를 쓰게 한다. 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤의 네 순서는 같은 확률이고, 셋째가 뒷면인 것은 마지막 두 순서다.
질문 A의 답을 로 쓴 학생은 셋째뿐 아니라 넷째까지 뒷면으로 제한했는지 확인한다. 질문 B의 답을 로 쓴 학생은 남은 한 자리만 확인했는지 묻는다. 이 비교는 독립이라는 용어를 외웠는지보다 사건을 끝까지 읽었는지 드러낸다.
교사는 문제지에 첫 두 결과가 이미 정해져 있다는 시점과, 동전이 공정하다는 전제를 함께 남긴다. 관찰한 앞면 수를 이용해 공정성을 추정하는 질문과 혼동하지 않도록 하는 조건이다.
확인문제에서는 “전체 앞면이 적어도 두 번”을 묻는다. 첫 두 번이 앞면이므로 이 확률은 1이다. 남은 던짐을 계산할 필요가 없는 사건도 같은 장면 안에서 비교할 수 있다.
출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.