두 초점이 같아도, 타원 하나가 정해지지는 않는다

F_1(-3,0),\quad F_2(3,0)

두 초점만 주어졌을 때 타원이 하나로 정해지는가? 다음 두 조건으로 얻은 타원을 비교하라.

\begin{aligned} \text{A: }&PF_1+PF_2=10\\ \text{B: }&PF_1+PF_2=8 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{A: }&\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\\ \text{B: }&\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 \end{aligned}

두 타원은 같은 초점을 갖지만 서로 다르다. A는 $a=5,c=3$ 이므로 $b^2=16$ ,B는 $a=4,c=3$ 이므로 $b^2=7$ 이다. 거리 합 조건이 축의 길이를 정하는 정보다.

점 $(0,4)$ 를 비교하면 차이가 드러난다. A에서는 두 초점까지의 거리가 각각5여서 합10이다. B의 식에는 $16/7$ 이 들어가므로 이 점은 B 위에 있지 않다.

교사는 초점 두 점만 표시한 도식 아래에 ‘거리 합’의 빈칸을 남길 수 있다. 학생이 초점 좌표만으로 $a=3$ 이라고 쓰면3은 중심에서 초점까지의 거리라는 이름을 붙이게 한다. 장축의 절반과 초점까지 거리를 구별하는 준비다.

후속 질문에서는 거리 합을6으로 정한다. 삼각형의 두 변의 합은 세 번째 변보다 작을 수 없고, 여기서는 초점 사이가6이다. 합6을 만족하는 것은 두 초점 사이 선분의 점들이므로 앞의 타원과 같은 모양을 얻지 못한다.

합이6보다 작으면 가능한 점이 없다. 따라서 타원을 정하는 조건에서는 거리 합이 초점 사이 거리보다 크다는 조건을 확인한다. 단순히 $b^2=a^2-c^2$ 의 계산만 해 놓으면 이 존재 조건을 놓칠 수 있다.