쌍곡선의 방향, 큰 분모부터 고르면 틀린다

\frac{(y+1)^2}{9}-\frac{(x-2)^2}{16}=1

“큰 분모16이 $x$ 항 아래 있으니 꼭짓점은 중심에서 좌우로4만큼 떨어져 있다.” 이 풀이를 판단하고 중심·꼭짓점·점근선을 구하라.

\begin{aligned} \text{중심 }&(2,-1)\\ \text{꼭짓점 }&(2,2),(2,-4) \end{aligned}

y+1=\pm\frac34(x-2)

이 풀이의 꼭짓점 판정은 틀리다. 이 쌍곡선에서는 양의 항이 $(y+1)^2/9$ 이므로 중심에서 위아래로3 움직인 점이 꼭짓점이다. 타원에서 큰 분모를 확인하던 방법을 그대로 적용할 수 없다.

$x=2$ 를 대입하면 $(y+1)^2=9$ 이 되어 두 꼭짓점이 나온다. 반대로 $y=-1$ 이면 음수인 $-(x-2)^2/16$ 이1과 같아야 해서 점이 없다. 축 위 대입으로 그래프의 방향을 확인할 수 있다.

교사는 중심을 구한 뒤 양의 항과 음의 항을 먼저 색으로 나누게 한다. 분모의 크기를 비교하는 줄보다 이 부호 확인이 앞에 있어야 한다. 학생이 타원 계산의 기억을 쌍곡선에 적용했는지 답안에서 보인다.

점근선은 우변을0으로 두었을 때 $(y+1)^2/9=(x-2)^2/16$ 에서 얻는다. 기울기가 $4/3$ 인지 $3/4$ 인지 헷갈리면 제곱식을 다시 써서 어느 항이 세로 변화인지 확인한다.

후속 문항은 초점을 구하게 한다. $c^2=9+16=25$ 이므로 초점은 $(2,4),(2,-6)$ 이다. 꼭짓점과 초점이 같은 세로축에 있어도 중심에서의 거리는3과5로 다르다.

방향을 잘못 고른 답안과 점근선의 기울기만 뒤집은 답안은 다른 오류다. 두 줄을 따로 확인하면 다음 문항에서 무엇을 다시 물을지 정하기 쉽다.