점근선 두 개가 같으면, 쌍곡선도 같은가

\begin{aligned} \text{A: }&\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\\ \text{B: }&\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1 \end{aligned}

두 쌍곡선의 중심과 점근선이 같은지 구하고, 곡선도 같은지 판단하라.

같은 것은 중심과 점근선이고, 쌍곡선은 다르다. 점근선은 $b/a$ 라는 비율을 드러내지만 중심에서 꼭짓점까지의 거리 $a$ 를 하나로 정해 주지는 않는다.

점 $(2,0)$ 은 A의 식에1을 만들지만 B의 식에는 $1/4$ 를 만든다. 하나의 점으로 두 곡선이 다름을 확인할 수 있다. 이 대입은 비슷하게 보이는 그림보다 직접적인 근거다.

교사는 점근선만 있는 그래프 카드에 꼭짓점을 표시하도록 빈칸을 남긴다. 학생이 두 식을 같은 카드에 붙이면 두 식의 $y=0$ 을 계산하게 한다. 접점이나 초점을 먼저 구하는 것보다 빠르게 빠진 정보를 찾을 수 있다.

두 식의 분모를 모두 네 배로 만들면 $a,b$ 는 모두 두 배가 된다. 그래서 $b/a$ 는 그대로지만 꼭짓점은 중심에서 두 배 멀어진다. 분모에 곱한 수와 실제 길이에 곱한 수를 구별하는 질문도 넣을 수 있다.

후속 문항은 중심이 원점이고 점근선이 $y=\pm3x/2$ ,꼭짓점이 $(\pm6,0)$ 인 쌍곡선을 구하게 한다. $a=6,b=9$ 이므로 $x^2/36-y^2/81=1$ 이다. 빠졌던 하나의 길이가 방정식을 정한다.