계수의 합이 1이면, 점이 선분 안에 있는가

\begin{aligned} A(0,0),\quad B(4,2)\\ \overrightarrow{OX}&=(1-t)\overrightarrow{OA} +t\overrightarrow{OB} \end{aligned}

“계수의 합이 1이므로 모든 실수 t에서 X는 선분 AB 위에 있다.” 이 주장은 참일까?

X=(4t,2t)

주장은 거짓이다. P는 $t=1/2$ , Q는 $t=3/2$ 로 나타낼 수 있지만 Q는 B를 지난 바깥점이다. 선분에는 $0\le t\le1$ 이라는 범위가 필요하다.

R은 x좌표에서 $t=1/2$ 를 얻어도 y좌표가 1이 되어 맞지 않는다. 한 성분만 확인해서는 같은 직선 위라고 판정할 수 없다.

문항을 준비할 때 끝점 조건도 남긴다. t=0,1은 각각 A,B이며 선분에 포함된다. 내분점만 요구하면 $0<t<1$ 이다.

Don Steward의 원문에는 같은 직선 위이면서 선분 밖에 놓인 점이 등장한다. 새 질문은 식이 맞는지와 결론에 범위가 있는지를 따로 확인하게 한다.

출처·착안: Don Steward, 「harder GCSE vector questions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.