평면에 비친 직각, 공간에서도 직각인가

\begin{aligned} A(0,0,0)\\ B(1,0,1),\quad C(0,1,1) \end{aligned}

xy평면에 정사영하면 A′에서 직각이다. 원래 삼각형의 A도 직각일까?

\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1,0,1)\\ \overrightarrow{AC}&=(0,1,1)\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=1\\ |\overrightarrow{AB}|&=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt2\\ \cos\angle BAC&=\frac12 \end{aligned}

원래 각은 60°다. 정사영의 두 벡터 $(1,0,0),(0,1,0)$ 는 내적이 0이지만, 공간에서는 z성분끼리의 곱 1이 더해진다.

맞은 계산의 대상을 확인한다

정사영의 내적 0을 지울 필요는 없다. 그 값으로 원래 각을 판정한 문장을 고친다. AB, AC, BC의 제곱길이가 모두 2라는 검산도 가능하다.

후속 질문은 B,C의 z좌표를 모두 0으로 바꾸면 충분하다. 원래 점과 정사영이 같아지고 A도 직각이 된다.

Zukei 댓글의 좌표 증명 제안을 공간과 정사영의 비교로 확장했다. 원문이 이 공간 사례를 다룬 것은 아니다. 좌표에서 지운 성분이 내적에서는 어느 항인지 표시하게 한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Zukei Puzzles (Polygon Finding Puzzles)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.