한 번 미분가능하다고 두 번도 미분가능한 것은 아니다

f(x)=x|x|

0에서 한 번 미분할 수 있으면 두 번도 가능할까?

\begin{aligned} \frac{f(h)-f(0)}h&=|h|\longrightarrow0\\ f'(0)&=0,\qquad f'(x)=2|x| \end{aligned}

첫 도함수는 0에서도 연속이다. 이제 다시 미분할 대상은 $2|x|$ 이다.

\frac{f'(h)-f'(0)}h=\frac{2|h|}h

h의 방향	극한
왼쪽	−2
오른쪽	2

서로 다르므로 $f''(0)$ 은 존재하지 않는다. 처음의 극한값 0을 그대로 두 번째 답으로 옮길 수 없다.

일본 글의 ‘한 점 근처 기울기’ 확인을 원래 함수와 도함수에 각각 적용했다. 답안에는 현재 미분하는 함수의 이름과 식을 먼저 한 줄 쓰게 한다. 조각별 계산 뒤 0을 놓치는 오류도 여기서 확인할 수 있다.

출처·착안: 【中高生向け】結局、微分って. 문항과 풀이는 새로 작성했다.