도함수값이 0인 한 점을 허용하면 매개변수의 경계도 달라진다

f_a(x)=x^3-ax\qquad(a\in\mathbb R)

실수 전체에서 증가하도록 하는 a를 구하라. $f_a'(x)>0$ 만 요구해 얻은 a<0에서 경계 0을 버려도 될까?

f_a'(x)=3x^2-a

따라서 $a\le0$ 이다. 범위 밖을 제외하는 직접 확인도 남길 수 있다. $0<t<\sqrt a$ 이면

f_a(t)=t(t^2-a)<0=f_a(0)

이므로 증가 조건을 위반한다.

중국 원문의 ‘도함수가 한 점에서 0인 경우’에 대한 경고를 경계 포함 여부로 바꿨다. 답안에는 a=0을 넣을 이유와 a>0을 뺄 이유를 각각 쓰게 한다. 도함수값 0 한 점만으로 증가를 부정하지 않는다.

출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.