밑과 지수가 모두 x일 때 어느 거듭제곱 공식인가

f(x)=x^x\qquad(x>0)

학생의 두 답 $x\cdot x^{x-1}$ , $x^x\ln x$ 에는 각각 어떤 변화가 빠졌을까?

\begin{aligned} y&=x^x>0\\ \ln y&=x\ln x\\ \frac{y'}y&=\ln x+1\\ f'(x)&=x^x(\ln x+1) \end{aligned}

첫 답은 지수를, 둘째 답은 밑을 상수로 취급했다. 여기서는 둘 다 x와 함께 바뀐다. x=1에서 올바른 미분계수는 1이며 둘째 답은 0이다.

도함수의 부호는 $\ln x+1$ 로 정해진다. 0<x<1/e에서 감소하고 x>1/e에서 증가하므로 x=1/e에서 최솟값 $e^{-1/e}$ 다. x=0은 정의역 밖이다.

중국 글의 로그를 취하는 장면에 착안했다. 수업에서는 두 공식을 적은 뒤 각 공식에서 무엇을 상수로 둔 것인지 표시하게 한다. 첫 답이 x=1에서 맞아도 전체 공식의 근거가 되는 것은 아니다.

출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.