잘라낸 모서리의 길이를 정할 때 끝점은 실제 상자일까

한 변이 12 cm인 정사각형 종이의 모서리를 x cm씩 잘라 접은 상자: V=x(12−2x)², 실제 범위는 0<x<6입니다. x=2에서 부피는 최대 128 cm³. 끝점에서 부피식을 계산하는 것과 실제 상자를 만드는 것을 구별해 보세요.

한 변이 12 cm인 정사각형 종이의 네 모서리에서 한 변이 x cm인 정사각형을 잘라낸다. 남은 부분을 접어 뚜껑 없는 상자를 만들 때 부피의 최댓값은?

\begin{aligned} V(x)&=x(12-2x)^2\\ 0&<x<6\\ V'(x)&=12(6-x)(2-x) \end{aligned}

x의 범위	V′의 부호	부피
0<x<2	+	증가
2<x<6	−	감소

따라서 x=2에서 최댓값 128 cm³이다. 밑면은 한 변이 8 cm인 정사각형이고 높이는 2 cm다.

끝점은 계산할 수 있어도 상자는 아니다

Quadratic Area Puzzles는 변의 길이와 넓이 식을 맞추게 한다. 여기서는 접은 뒤의 세 길이를 먼저 쓰게 했다. 네 모서리에서 잘라내지만 밑면의 한 변에서는 2x를 뺀다. 부피식 오류와 정의역 오류를 구별해 채점할 수 있다.

출처·착안: Quadratic Area Puzzles. 문항과 풀이는 새로 작성했다.