곱을 미분해 0이 나와도 각 도함수는 0이 아닐 수 있다

f(x)=1+x,\qquad g(x)=1-x

$(fg)'(0)=0$ 이면 f′(0)과 g′(0)도 모두 0일까?

\begin{aligned} (fg)(x)&=1-x^2\\ (fg)'(0)&=0\\ f'(0)&=1,\qquad g'(0)=-1 \end{aligned}

주장은 거짓이다. 곱을 미분하는 공식에서도 이유를 볼 수 있다.

\begin{aligned} (fg)'(0)&=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)\\ &=1\cdot1+1\cdot(-1)=0 \end{aligned}

더하는 두 항이 각각 0일 필요는 없다. 이 예에서는 1과 −1을 더해 0이 된다.

결과에서 거꾸로 판단한 답안

“곱의 도함수가 0이므로 두 함수의 도함수도 0”이라는 답안에는 식만 다시 계산시키기보다, 두 항의 합이 0인 것과 각 항이 0인 것을 구별하게 한다.

해외 글의 그래프와 도함수 설명을, 결과 하나로 원래 두 함수의 성질을 단정한 답안 검토로 바꿨다.

출처·착안: Derivative Practice – Graphs. 문항과 풀이는 새로 작성했다.