두 나머지를 곱한 식이 그대로 곱의 나머지는 아니다

다항식 P(x), Q(x)를 각각 x²−1로 나눈 나머지가 x+2, 3x−1이다. P(x)Q(x)를 x²−1로 나눈 나머지는?

\begin{aligned} (x+2)(3x-1)&=3x^2+5x-2\\ &=3(x^2-1)+5x+1 \end{aligned}

답은 5x+1이다. 3x²+5x−2는 차수가 2여서 그대로 나머지가 될 수 없다.

다시 나누는 이유

\begin{aligned} D&=x^2-1\\ P&=DA+x+2\\ Q&=DB+3x-1 \end{aligned}

두 식의 곱에서 마지막 $(x+2)(3x-1)$ 을 제외한 항은 모두 D의 배수다. 남은 곱도 D보다 차수가 낮을 때까지 정리해야 한다.

간단한 대입 검산도 가능하다. x=1에서 곱은 6, x=−1에서 곱은 −4이며 5x+1도 같은 값을 준다.

해외의 나눗셈 퍼즐은 몫·나머지·나누는 식을 함께 읽게 한다. 새 문제에서는 “나머지끼리 곱하면 끝”이라는 답안의 마지막 차수 검사를 남겼다.

출처·착안: Dividing Polynomials Using the Box Method Puzzles. 문항과 풀이는 새로 작성했다.