켤레복소수의 합과 곱은 실수지만 원래 수는 실수가 아니다

복소수 z에 대하여

z+\overline z=2,\qquad z\overline z=5

이다. z와 허수부를 구하라.

\begin{aligned} z&=a+bi\quad(a,b\text{는 실수})\\ 2a&=2\\ a^2+b^2&=5\\ a&=1,\qquad b=\pm2 \end{aligned}

따라서 z=1±2i, 허수부는 ±2다. 허수부를 ±2i라고 쓰면 안 된다.

합과 곱이 실수라는 정보

켤레복소수의 합과 곱은 실수지만 원래 두 수가 실수라는 뜻은 아니다. 이 조건에서 원래 수는 허수부가 0이 아니다.

중국 문제 준비 노트의 조건 재확인을, 계산 결과의 종류와 물어본 값의 종류를 구별하는 답안 비교로 바꿨다.

출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.