제곱한 부등식에서 최댓값의 부호와 등호를 함께 확인한다

x^2+y^2=1\qquad(x,y\text{는 실수})

3x+4y의 최댓값을 구하라.

\begin{aligned} 25(x^2+y^2)-(3x+4y)^2 &=(4x-3y)^2\ge0\\ (3x+4y)^2&\le25 \end{aligned}

여기까지는 −5≤3x+4y≤5다. 최댓값이 5이려면 5를 실제로 갖는 x, y도 보여야 한다.

(x,y)=\left(\frac35,\frac45\right)

에서 원래 조건을 만족하며 3x+4y=5다. 따라서 최댓값은 5다.

등호 조건만으로 부호가 정해지지는 않는다

등호 조건 4x=3y와 원래 조건을 함께 풀면 위 점과 $(-3/5,-4/5)$ 를 얻는다. 두 번째 점에서는 값이 −5로 최솟값이다.

Mathlog 원문은 벡터의 내적과 절댓값 부등식을 제곱해 결론을 얻는다. 새 답안 검토에서는 5 이하라는 계산, 등호 조건, 실제 최댓값을 갖는 점을 각각 확인한다.