등호 조건을 비율로 쓰기 전에 분모가 0인지 확인한다

실수 a, b, x, y에 대하여 다음 식을 전개해 보자.

\begin{aligned} &(a^2+b^2)(x^2+y^2)\\ &\qquad -(ax+by)^2=(ay-bx)^2 \end{aligned}

오른쪽이 0 이상이므로

(ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)

이며 등호 조건은 ay=bx다.

비율로 쓰면 빠지는 경우

등호 조건을 무조건 x/a=y/b로 쓰면 a=0 또는 b=0에서 정의되지 않는다.

a=0,\ b=2,\ x=0,\ y=-3

이면 부등식 양쪽은 모두 36이다. 등호가 성립하지만 x/a=0/0은 쓸 수 없다. a=b=0일 때에는 모든 x, y에서 등호가 성립한다.

벡터로 증명한 Mathlog 원문을 양변의 차를 직접 전개하는 방법으로 바꿨다. 제곱식이 0인 조건을 먼저 쓰고 나눗셈은 그다음에 한다. ay=bx는 분모가 0인 경우도 빠뜨리지 않는다.