수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

짝수차항의 계수 합을 전개 없이 분리할 수 있다

P=(1+2x)^5(1−x)^2를 전개하지 않아도 짝수차항의 계수 합 −2, 홀수차항의 계수 합 2를 얻습니다. P(1)=E+O, P(−1)=E−O를 쓰고 상수항도 E에 포함하세요.

붉은 벽돌과 밝은 줄눈이 반복되는 벽

사진: Pawel Wozniak · CC BY-SA 3.0 · 원본 출처

P(x)=(1+2x)5(1−x)2 P(x)=(1+2x)^5(1-x)^2

짝수차항의 계수 합 E와 홀수차항의 계수 합 O를 구하자. 모든 항을 전개할 필요는 없다.

P(1)=E+O=0P(−1)=E−O=−4 \begin{aligned} P(1)&=E+O=0\\ P(-1)&=E-O=-4 \end{aligned}

−1의 짝수제곱은 1, 홀수제곱은 −1이다. 두 식을 더하고 빼면

E=−2,O=2 \boxed{E=-2,\quad O=2}

상수항은 E에 포함한다. x⁰의 계수이기 때문이다. 짝수차항이라고 계수의 합이 양수인 것도 아니다.

답에 E+O=0, E−O=−4를 다시 넣어 합과 차를 바꾸지 않았는지 확인한다. 해외 글의 두 조건 기록·재검산을, 필요한 계수 정보만 얻는 대입으로 바꿨다.

출처·착안: Factoring Polynomials Using the Box Method Directions. 문항과 풀이는 새로 작성했다.