증가함수와 역함수의 공통점은 왜 y=x 위에 있을까

실수 전체에서 실수 전체로의 증가하는 일대일 대응 f가 있다. (a,b)가 y=f(x), y=f⁻¹(x)의 공통점이다.

f(a)=b,\qquad f(b)=a

이 점은 반드시 y=x 위에 있을까?

가정	증가 조건으로 얻는 결론
a<b	f(a)<f(b), 즉 b<a: 모순
a>b	f(a)>f(b), 즉 b>a: 모순

\boxed{a=b}

증가 조건을 빼면

f(x)=−x의 역함수도 −x다. (1,−1)은 두 그래프의 공통점이지만 y=x 위에 있지 않다.

역함수 그래프의 대칭만으로는 부족하다. 공통점의 두 등식과 증가 조건을 함께 쓴다. 해외의 식·그래프 대응을, 교점 위치의 가정을 확인하는 증명으로 바꿨다.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.