f∘g와 g∘f의 대칭을 각각 판단하자.
두 합성함수는 모두 우함수다. 첫 등식에서는 g의 기함수 조건과 f의 우함수 조건을 차례로 썼다. 두 번째 합성은 안쪽 f의 우함수 조건만으로 성립한다. ‘우와 기를 곱하면 기’라는 곱셈 규칙을 합성에 옮길 수 없다.
같은 대칭이면 같은 함수일까? f(x)=x²+1, g(x)=x³을 넣으면 f∘g=x⁶+1, g∘f=(x²+1)³이다. x=1의 값은 각각 2와 8로 다르다. 각 등식 옆에 사용한 가정을 표시한 뒤, ‘둘 다 우함수’와 ‘두 함수가 같다’를 따로 채점하자.
출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.