로그 두 개의 곱을 1로 약분하려면 두 밑의 조건이 필요하다

\log_a b\cdot\log_b a

항상 1이라는 답에 정의 조건을 붙이자. a,b가 양수라는 말만으로 충분할까?

두 로그가 모두 정의되려면 a>0,b>0,a≠1,b≠1이다. 이 범위에서

\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln a}{\ln b}=1

로 정리된다. 두 분모 ln a,ln b가 모두 0이 아니므로 약분할 수 있다.

b=1이면 첫 로그는 0이지만 둘째 로그는 밑 1이어서 정의되지 않는다. 따라서 곱에도 값이 없다. 정리한 식 1로 제외 입력의 값을 새로 만들 수 없다.

a=2,b=1/2에서는 두 로그가 모두 −1이고 곱은 1이다. 로그가 각각 양수일 필요는 없다. ‘진수가 양수’와 ‘밑이 양수이며 1이 아님’을 두 로그에 각각 표시한 뒤, 약분에 필요한 분모 조건과 연결하게 하자.