log(x²)를 2log x로 바꾸면 음수 입력을 잃는다

\log_2(x^2)\qquad(x\ne0)

진수 x²은 음수 x에서도 양수다. 이 식을 모든 정의역에서 2log₂x로 바꿀 수 있을까?

x>0에서는 맞지만 x<0에서는 log₂x가 정의되지 않는다. 원래 입력을 모두 보존하려면

\boxed{\log_2(x^2)=2\log_2|x|\quad(x\ne0)}

로 쓴다. |x|>0이고 x²=|x|²이므로 거듭제곱의 로그 성질을 적용할 수 있다.

x=−2에서 원래의 식과 2log₂|x|은 모두 2다. 2log₂x에는 값이 없다. x=0은 어느 식에서도 진수가 0이어서 제외된다. 세 식의 정의역을 나란히 적어 비교하자.

공식의 결과가 같은 입력에서 같은 값을 갖는지 먼저 확인한다. 입력의 부호가 반대인 2와 −2에서 같은 값이 나온다는 검산도 가능하다. 밑의 조건과 진수의 조건을 섞지 않게 한다.