n은 양의 정수이고 r은 실수이다.
항을 유한 개 더하는 질문에도 |r|<1이라는 조건이 필요한가? 첫째항은 1로 정의하며 이후에는 앞 항에 r을 곱한다.
r≠1이면 (1−r)Sₙ=1−rⁿ에서 Sₙ=(1−rⁿ)/(1−r)이다. |r|≥1이어도 유한 합을 계산할 수 있다. r=1은 분모가 0이지만 원래 합은 1을 n개 더해 Sₙ=n이다.
n=4에서 r=1,2,−1의 합은 각각 4,15,0이다. r=−1이면 양의 정수 n이 홀수일 때 합은 1, 짝수일 때 0이다. r=0이면 첫째항 1 뒤의 항은 모두 0이므로 합은 1이다.
항수를 한없이 늘린 급수의 수렴을 묻는 경우에는 첫째항이 1이므로 |r|<1이어야 한다. 표의 열을 ‘유한 합 계산’과 ‘무한급수 수렴’으로 나누어, 공식의 분모 조건 r≠1과 수렴 조건을 구별하게 하자.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.