양수와 음수가 상쇄되어 0이라는 설명이 맞을까? 적분한 대상은 f가 아니라 f²다.
f²는 모든 입력에서 0 이상이다. 한 점 c에서 |f(c)|=m>0이라 가정하면, 연속성 때문에 그 점 근처에서 |f(x)|>m/2다. [0,1] 안의 양의 길이를 가진 작은 구간에서 f²>m²/4이므로 그 부분의 적분만으로도 양수다. 끝점 c=0,1에서는 한쪽 구간을 쓰면 된다.
전체 적분 0과 모순이므로 이다. 제곱은 음수 부분의 상쇄를 막고, 연속성은 한 점의 0이 아닌 값이 구간에서도 남게 한다.
제곱을 빼면 f(x)=x−1/2의 정적분은 0이지만 함수 전체가 0은 아니다. 학생에게 결론만 받지 말고 f(c)≠0을 가정했을 때 주변 구간에서 생기는 변화를 설명하게 하자. 한 점과 양의 길이를 가진 구간의 차이가 증명의 핵심이다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.