각의 크기는 호도법이다. x와 sinx가 기함수이므로 곱도 기함수라 I=0이라는 답을 검토하자.
(−x)sin(−x)=xsinx이므로 곱은 우함수다. 두 음수 부호가 서로 지워진다.
대칭 구간에서 적분0을 주는 규칙은 적분할 함수가 기함수일 때다. 두 인수의 대칭을 곱한 뒤 다시 판단해야 한다. [−π,π]에서 x와 sinx는 같은 부호여서 곱이 0 이상이고, 내부에서 양수인 구간이 있으므로 결과가 양수인 것도 맞다.
먼저 정확한 계산 없이 0이 아닌 값을 예상하게 한 뒤 부분적분하자. 남은 cos 적분이 0이어도 경계 항 π는 남는다. 대칭 판단과 부분적분의 두 항을 따로 확인한다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.