부분적분의 경계항이 0이어도 나머지 적분은 남는다

I=\int_0^\pi x\cos x\,dx

각의 크기는 호도법이다. 부분적분의 경계 항 xsinx가 양 끝에서 0이라 I=0이라는 답을 검토하자.

I=[x\sin x]_0^\pi-\int_0^\pi\sin x\,dx=0-2=\boxed{-2}.

경계 항0은 맞지만 남은 정적분2를 빼야 한다. 부정적분으로 구한 xsinx+cosx를 미분해도 xcosx다. 위 끝값 −1과 아래 끝값 1의 차는 −2다.

부호도 비교해 보자. 구간의 오른쪽 절반에서는 cos가 음수이고 x가 더 크다. 음수 기여가 더 커지므로 전체가 음수인 결과와 맞는다. cos만 대칭으로 지워진다는 설명은 x의 변화를 놓쳤다.

경계 항과 남은 정적분을 두 칸에 쓰게 하자. 맞는 경계 계산은 남기고, 생략한 둘째 항을 복원한다. 직접 부정적분 후 끝값을 평가한 방법과도 비교할 수 있다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.