다른 모양의 부정적분 답은 상수만큼 달라도 같은 해들을 나타낸다

\int\sin x\cos x\,dx\qquad(x\in\mathbb R)

각의 크기는 호도법이다. F(x)=sin²x/2와 G(x)=−cos²x/2 중 한 답만 맞을까?

F′=sinxcosx이고 G′=cosxsinx이므로 둘 다 원래 식으로 돌아온다. 삼각함수의 관계에서

F(x)-G(x)=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{2}=\frac12.

같은 숫자 C를 더한 F+C와 G+C는 서로 다른 함수다. 그러나 모든 실수 적분상수를 허용하면 F+C=G+(C+1/2)로 같은 부정적분의 해들을 나타낸다.

0부터 π/2까지의 정적분도 두 후보의 끝값 차가 모두1/2다. 답의 모양만 비교하지 말고 도함수와 두 식의 차를 차례로 확인하게 하자. 같은 함수인지, 상수만큼의 차이가 있는지, 적분상수를 포함한 해집합이 같은지 나누어 설명한다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.