적분식 안의 x도 변하면 윗끝 대입만으로 미분할 수 없다

F(x)=\int_0^x(x-t)t\,dt\qquad(x\in\mathbb R)

윗끝 t=x를 넣으면 (x−x)x=0이다. 이 값으로 F′(x)=0이라고 써도 될까?

적분할 때 x는 고정한 입력이고 t가 적분변수다. 직접 계산하면

\begin{gathered}F(x)=x\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}=\frac{x^3}{6},\\\boxed{F'(x)=\frac{x^2}{2}}.\end{gathered}

적분할 식에는 윗끝 외에도 x가 있다. x가 변하면 구간뿐 아니라 내부의 함수값도 달라진다. t만의 함수 f(t)를 적분한 경우와 같은 방식으로 윗끝 값만 넣을 수 없다.

x=1에서 F=1/6,F′=1/2인데 윗끝 대입값은0이다. 식 안의 x를 모두 표시하고 적분변수 t와 구별하게 하자. 다항식으로 적분한 뒤 미분하면 새로운 여러 변수 미분 공식을 쓰지 않고도 오류를 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.