반지름을 평균낸 뒤 제곱하면 단면적의 합과 달라진다

0\le x\le1,\qquad r(x)=x^2

x축에 수직인 단면이 반지름 r(x)인 원인 입체도형의 부피를 구하자. 반지름의 평균 1/3을 먼저 구해 원기둥으로 바꾸면 될까?

각 단면의 넓이는 $\pi r(x)^2=\pi x^4$ 이므로

V=\int_0^1\pi x^4\,dx=\boxed{\frac{\pi}{5}}.

반지름을 평균낸 1/3을 제곱하면 π/9가 되어 다른 부피가 나온다. 길이가 1인 구간에서 단면 넓이의 평균은 π/5이고, 그 넓이와 같은 원의 반지름은 1/√5이다.

단면 세 개를 먼저 비교해 보자. x=0, 1/2, 1에서 반지름은 0, 1/4, 1이고 넓이는 0, π/16, π이다. ‘반지름 → 단면 넓이 → 부피’의 순서로 계산하게 하면 제곱을 평균 계산 뒤로 옮긴 지점을 찾을 수 있다. 같은 평균 반지름이 같은 부피를 보장하지 않는다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.