한 적분값의 일치와 모든 x에서의 일치를 구별한다

\int_0^x f(t)\,dt=\int_0^x g(t)\,dt\qquad(0\le x\le1)

f와 g는 [0,1]에서 연속이다. 위 식이 모든 x에서 성립하면 f=g라고 할 수 있을까? x=1에서 한 번만 같다는 조건과 비교하자.

모든 x에서 두 적분 함수가 같으므로 0<x<1에서 미분한 값도 같다. 연속함수의 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 f(x), g(x)이므로 내부에서 f=g이다. 끝점은 연속성을 이용해 연결하여 $\boxed{f(x)=g(x)\ (0\le x\le1)}$ 을 얻는다.

한 번의 적분만 같다면 f(x)=x, g(x)=1/2가 반례다.

\begin{aligned} \int_0^1x\,dx&=\int_0^1\frac12\,dx=\frac12,\\ f(1/4)&=1/4\ne g(1/4). \end{aligned}

문항의 ‘모든 x’를 지운 뒤 어느 근거를 쓸 수 없게 되는지 설명하게 하자. 끝점에서도 미분 공식을 바로 쓴 답은 구간 내부의 결론과 끝점의 연속성을 나누어 보완한다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.