높이 xcm, 정사각형 밑면 한 변 (36−x)cm인 상자를 만든다. 제작 조건상 14≤x≤18이어야 한다. 부피 V=x(36−x)²의 최댓값을 구하라. x=12를 답으로 쓴 풀이도 검토하라.
V′(x)=(36−x)(36−3x)이므로 도함수의 영점은 12와 36이다. 그러나 둘 다 이번 제작 범위에는 포함되지 않는다.
14≤x≤18에서는 첫 인수는 양수, 둘째 인수는 음수다. 따라서 V′(x)<0이고, 허용된 구간 전체에서 부피가 감소한다.
x=12는 넓은 범위 0<x<36에서의 최대를 주지만, 이번 문제의 가능한 상자에 해당하지 않는다. V(12)가 더 크다는 계산만으로 허용되지 않은 값을 답으로 사용할 수는 없다.
최댓값을 찾는 절차에는 함수식뿐 아니라 가능한 입력을 결정하는 단계가 포함된다. Descartes 원문이 실제 제작 조건에서 경계점을 배제하는 장면을, 이 글에서는 닫힌 제작 구간의 경계 최댓값으로 바꾸었다. 교사는 제작 제한을 처음부터 그래프 위에 표시하게 하여 답의 위치가 허용 구간에 있는지 확인할 수 있다.
출처·착안: Derivadas Aplicaciones Optimización 상자 최적화. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.