학생은 계수 (2,1),(1,−1)를 곱해 u·v=2−1=1이라고 했다. 이 풀이를 고치고 두 벡터가 이루는 각 θ의 cosθ를 구하라.
내적을 전개할 때 서로 다른 두 벡터 사이의 항도 남는다. a,b는 크기1이지만 수직이 아니다. 이 둘 앞의 계수를 직각인 좌표축의 성분처럼 처리하면 그 항을 빠뜨린다.
크기도 같은 전제가 필요하다. |u|²=4+1+4×1/2=7, |v|²=1+1−2×1/2=1이므로 cosθ=1/(2√7)이다. 계수만 제곱하여 크기를 √5,√2로 쓰는 답도 고쳐야 한다.
교사는 “크기1인 두 벡터”와 “서로 수직인 크기1인 두 벡터”를 같은 조건으로 보았는지 묻는다. 단위벡터라는 말에는 두 벡터 사이의 각이 포함되지 않는다. 주어진 내적1/2가0이 아니라는 정보가 계산에 사용되었는지 확인한다.
가능한 실제 예는 a=(1,0), b=(1/2,√3/2)다. 이때 u=(5/2,√3/2), v=(1/2,−√3/2)이므로 성분으로 계산한 내적도5/4−3/4=1/2다.
전개한 식과 실제 좌표 예가 같은 값을 내는지 확인하면 계수와 좌표 성분의 차이가 분명해진다. 계산법을 바꾸었을 때 주어진 벡터 사이의 각 정보까지 함께 옮겼는지 검토한다.
두 단위벡터가 수직이라는 조건을 추가하면 내적의 교차 항이0이 된다. 그 경우에야 계수만 곱해 더한 식과 실제 내적이 일치한다. 조건을 추가하기 전후의 결과를 같은 답으로 처리하지 않는다. 크기의 계산에서도 같은 조건이 필요한지 함께 확인한다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.