조건을 바꾸어 읽은 3/4, 반대 방향의 확률도 같을까

P(A)=\frac15,\quad P(B)=\frac12,\quad P(B\mid A)=\frac34.

P(A∩B)와 P(A|B)를 구하라. 두 사건을 바꾸어도 3/4라는 답안을 검토한다.

먼저 P(A∩B)=(1/5)(3/4)=3/20이다. 반대 방향에서는 B가 조건이므로 분모가 P(B)=1/2로 바뀐다.

P(A\mid B)=\frac{3/20}{1/2}=\boxed{\frac3{10}}\ne\frac34.

결과	확률
A와 B 모두	3/20
A만	1/20
B만	7/20
둘 다 아님	9/20

네 값은 모두 0 이상이고 합은 1이므로 주어진 조건을 만족하는 확률표를 실제로 만들 수 있다. 교집합은 같지만 A의 확률과 B의 확률은 다르다. ‘A인 결과 중 B’와 ‘B인 결과 중 A’를 말로 읽고, 조건으로 남긴 사건이 분모가 되는 줄을 확인한다. 두 사건의 확률까지 같다고 주었다면 반대 방향도 같아진다는 점을 덧붙여 묻는다.

출처·착안: #54 Probability without calculus or computation. 문항과 풀이는 새로 작성했다.